Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

(P(x)-P(a)) делится без остатка на двучлен (x-a) .

Доказательство :

Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число .

Многочлен Pn(x) можно представить в виде :

Pn(x)=(x-a)Qn-
1(x)+R , где Qn-1(x) – многочлен , частное при делении Pn(x) на (x- a) ,

R – остаток от деления Pn(x) на (x-a) .

Причём по теореме Безу :

R = Pn(a) , т.е.

Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .
Отсюда

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) , а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) ) на (x-a) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем многочлена P(x) степени не ниже первой тогда и только тогда , когда

P(x) делится на (x-a) без остатка .

Доказательство :

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .

1.Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2
P(x) делится на (x-a) без остатка .

Таким образом делимость P(x) на (x-a) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) , т.к. является следствием из этого .

2.Достаточность .

Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a), тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на (x-a)
, но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0
, а это означает , что a является корнем P(x) .

Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) .

Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и требовалось доказать .

Следствие 7(авторское):

Многочлен , не имеющийй действи- тельных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит .

Доказательство :

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: алгебра, контрольные работы по алгебре класс.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата