Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

а поэтому: [pic] или короче: [pic] где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения.
Суммируя эти соотношения, получим:

[pic]

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор [pic] и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:

[pic]

и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:

[pic]

или:

[pic]

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

[pic]

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора [pic] через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div[pic] внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V> 0, получим:

[pic]

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.

2. Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора [pic]:

[pic]

(36)

Зная ротор вектора [pic] в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру
[pic], ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы [pic]. Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора [pic] по контуру, ограничивающему [pic], может быть представлена в виде.

[pic]

(37)

где [pic] - положительная нормаль к элементу поверхности[pic].

Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем [pic], и тогда получим циркуляцию вектора [pic] по контуру [pic], ограничивающему S:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат життя, образ жизни доклад.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата