Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата



Так как выбор элемента am может быть осуществлен n'm способами, существует n'm продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å1®å1

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран 

   m-1   

  Õ n'i способами,

   1

то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)    

          m-1      m

          Õ n'i×n'm = Õ n'i

                1       1

изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.

Если ni — полная (нередуцированная) степень элемента ai над D (a1,...,ai-1), то ni равно степени расширения D (a1, ... , ai) поля D(a1... , ai-1);

следовательно, степень (S : D) равна

                        m

Õ n'i .

                        1

Если сравнить это число с числом изоморфизмов  

               m

Õ n'i .

                        1

то получится следующее предложение:  

Число изоморфизмов расширения S = D(a1, ... , am) над D(в некотором подходящем расширении W) равно степени (S : D) тогда и только тогда, когда каждый элемент ai сепарабелен над полем D(a1... , ai-1). Если же хотя бы один элемент ai несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента ai быть сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от выбора порождающих элементов ai. Так как произвольный элемент b поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент b оказывается сепарабельным, если все ai являются таковыми. Итак:

Если к полю D последовательно присоединяются элементы ai, ... ,an и каждый элемент ai оказывается сепарабельным над полем, полученным присоединением предыдущих элементов a1, a2 ,…,ai-1 то расширение

S = D(a1, ... ,an)

сепарабельно над D.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата