Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата



Тем самым построение изоморфизма P(Â)→Р(¢) завершено. Обозначим через W" объединение всех полей Р(¢); тогда существует изоморфизм Р(W)®W" или W®W", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле W алгебраически замкнуто, таким же должно быть и W", а потому W" совпадает со всем полем W¢. Отсюда следует эквивалентность полей W и W¢.

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:

Если W — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и S — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри W существует расширение S0, эквивалентное расширению S.

Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения W'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению W. При каком-то изоморфизме, переводящем W' в W и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некоторое эквивалентное ему подполе S0 в W.

4.2. Простые трансцендентные расширения.

Каждое простое трансцендентное расширение поля D, как мы знаем, эквивалентно полю частных D(x) кольца многочленов D[x]. Поэтому мы изучим это поле частных

W = D(x).

Элементами поля W служат рациональные функции

h = f(x)/g(x).

Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) называется степенью функции h.

Теорема. Каждый отличный от константы элемент h степени п трансцендентен над D и поле D(x) — алгебраическое расширение поля D(h) степени п.

Доказательство. Представление h = f(х)/g(х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению

g(x)×h - f(x)=0

с коэффициентами из D(h). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и ak был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g(x), а bk — ненулевым коэффициентом многочлена f(x), то должно было бы иметь место равенство

akh - bk = 0

откуда h = bk/ak = const, что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над D(h).

Если бы элемент h был алгебраическим над D, то и х был бы алгебраическим над D, что, однако, не так. Следовательно, элемент h трансцендентен над D.

Элемент х является корнем многочлена степени n

g(z)h - f(z)

в кольце D(h)(z). Этот многочлен неразложим в D(h)[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце D[h, z], и, так как он линеен по h, один из множителей должен был бы зависеть не от h, а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потому что g(z) и f(z) взаимно просты.

Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем D(h). Отсюда следует утверждение о том, что (D(x) : D(h)) = n

Для дальнейшего отметим, что многочлен

g(z)h - f(z)

не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в D[z]). Это утверждение остается верным, когда h заменяется своим значением f(х)/g(х) и умножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен

g(z)f(x) - f(z)g(x)

кольца D[x, z] не имеет множителей, зависящих только от z.  

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата