Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата



Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.  

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(xp).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от xp.

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от xp. Тогда f(x) является многочленом от xp2. Пусть f(x) — многочлен от xpe

f(x) = y( xpe),

но не является многочленом от xpe+1. Разумеется, многочлен y(у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бы вид c(ур) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(хpе+1), что противоречит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители:     m  

           y(y) = J(y-bi).

              1 

Тогда

             m

           f(x) = J( xpe -bi)

             1  

Пусть ai— какой-нибудь корень многочлена xpe -bi. Тогда xipe = bi,

xpe -bi = xpe – aipe = (x-ai) pe.

Следовательно, ai является ре-кратным корнем многочлена xpe -bi и

             m

           f(x) = J( x -ai) ре.

             1  

Все корни многочлена f(x) имеют, таким образом, одну и ту же кратность ре.

Степень m многочлена y называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня ai); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня ai) над полем D. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

             n = m ре,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).  

Если q — корень неразложимого в кольце D[x] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D или элементом первого рода над D1). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент q и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементы которого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата