Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата



При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способом получается некоторое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое подмножество многочленов, коэффициент а0 которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а1 и т. д. Подмножество с первым аn которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а0, ..., аn определяются однозначно благодаря последовательно выполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степени n и n символов a1 ..., an то поле P (a1 ,..., an), в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

n

Õ(x-ai), строится единственным образом и является вполне  

1

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни a1 ..., an последовательно, вследствие чего из P = Р0 последовательно будут возникать поля Р1, ..., Рn. Предположим, что Рi-1 = P(a1 ..., ai-1) — уже построенное поле и что P — отрезок в Рi-1; тогда Рi будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Рi-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять x - a1,..., x - ai-1; среди остальных множителей пусть fi(x) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом ai обозначающим корень многочлена fi(x), мы определяем поле Рi = Pi-1 как совокупность всех сумм

              h-1

              å clali

                      0

где h —степень многочлена fi(x). Если fi(x) линеен, то, конечно, мы полагаем Рi = Pi-1; символ ai в этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля 

                      h-1

              å clali

                      0

сопоставим многочлен

                      h-1

              å clxli

                      0

и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Рi-1 является отрезком в Рi, а потому и P — отрезок в Рi.

Тем самым поля Р1 ,..., Рn построены н вполне упорядочены. Поле Рn является искомым однозначно определенным полем P(a1 ,..., an).

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объединение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля Sa, Sb, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле определены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности

ab • g = a • bg,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата