Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата



В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных элементов сепарабельны.

Далее, если b сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над D, то элемент b сепарабелен над D. Это объясняется тем, что b удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов a1... ,am из S и, следовательно, сепарабелен над D (a1, ... ,am). Тем самым сепарабельно и расширение

D (a1,..., am, b).

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечного сепарабельного расширения S над полем D равно степени расширения (S : D).

4. Бесконечные расширения полей.

Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В этой главе рассматриваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.

4.1. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расширением, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W[x] полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x] разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в W[x] линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x], т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W.  

Поэтому дадим следующее определение:

Поле W называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в W[x] разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле W, алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из W[x] обладает в W хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в W[x].

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f(x) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множество тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебраическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение W. С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения W, W ' поля P эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть W, — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы W было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце W[x].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольный многочлен из W[x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень a и прийти к собственному надполю W'. Элемент a является алгебраическим над W, а W является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент a алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g(x) из P[x]. Этот многочлен разлагается в W[x] на линейные множители. Следовательно, a —корень некоторого линейного множителя в W[x], т. е. принадлежит полю W, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо многочленов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из P[x] следующим образом: пусть f(x)<g(x), когда выполнено одно из условий:

1) степень f(x) меньше степени g(x);

2) степень f(x) равна степени g(x) и равна n, т. е.

f(x) = а0хn + ...+ аn , g (x) = b0хn + ... + bn

и при некотором индексе k :

аi = bi для i<k,

ak<bk, в смысле упорядочения поля Р.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата