Алгебраические расширения полей

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: диплом купить, банк курсовых работ бесплатно
| Добавил(а) на сайт: Jakobson.

Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата

В самом деле, в случае равенства a +сb = ai+сbk было бы

с = (ai-a)/(b-bk) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F1 = P (g) и F1 — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(g - cx) — полином из F1[x] (g, c0P(g) = F1). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F1[x]. Так как g(b) = 0, то x-b делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x]. Таким образом, x-b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что bk, k0{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(bk) = f(g - сbk) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m}, что g = ai+cbk (k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наибольшим общим делителем g и h в кольце F1[x]. Поэтому

(x-b) 0 F1[x] и b 0 F1 = P(g).

Кроме того, a = g - cb 0 F1. Таким образом,

F = P(a, b)Ì F1, F1ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (g), то поле F = P (g) является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a-1 0 Q (a, b) и поэтому а-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a= является алгебраическим.