Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L0 — L1 —…— Lk= F и k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L i является простым алгебраическим расширением поля  L i-1. Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a1,..., ak — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a1,..., ak) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L 0 = P, L 1 = P [a1], L 2= P [a1, a2,],..., L k = P [a1 ,..., ak].

Тогда L1 = P [a1] есть простое алгебраическое расширение поля L0; L2 есть простое алгебраическое расширение поля L1 , так как

L2 = P [a1,a2] = (P [a1])[a2] = L1[a2] = L1(a2) и т. д.

Таким образом,

P = L0 — L1 —…— Lk= F

где Li = Li-1(ai ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P —L — F , причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a1 ,..., am — корни полинома f в C и

b = b1 ,..., bn — корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(ai-a)/(b-bk)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М, cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g ¹ ai +cbk = (i0{1,..., m}, k0{2..., n}).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата