Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата



a3 +9a-2=3(a2+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a6+18a4+81a2-4a3-36a+4=27a4+54a2+27

или

a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)= a6-9a4-4a3+27a2-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A [x] — кольцо полиномов от x над полем A алгебраических чисел. Пусть

f = а0 + а1x+... + аnхn  (а0 ,…, аn 0 A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть  L= Q(а0, ..., аn) и L (с) — простое алгебраическое расширение поля L с помощью с. Тогда Q —L — L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, L есть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с) является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x] положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.

Положим

          n                n     

f(x) =3anxn         fN(x) =3nanxn-1

          0                 1   

Так как fN(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

nan = 0  (n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что an = 0 для всех n ¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства nan = 0 возможны и для n ¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех anxn, для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид 

      f(x) = a0+apxp+a2px2p+…

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата