Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



P = L0 — L1 —…— Lk= F и k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

[F : P] = [F : L]@[ L : P].  

Доказательство. Пусть

(1) a1,…,am — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b1,…,bn — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l1b1+...+lnbn (lk 0L).

Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1):

(4) lk = p1k a +…+ pmk am (pik0P).

Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем

d = å pik aibk.

i0{1,…,m}

k0{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a ibk½{1,..., m}, k 0 {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

(5) åcikaibk = 0,

 I,k

где cik 0 P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства

(6) с1ka 1+...+сmka m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a 1, ..., a m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c1k = 0,…,cmk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]×[L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).  

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты без регистрации, реферат влияние.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата