Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic], [pic], (70) где [pic], [pic], - атомы. При этом

[pic], (71) где inf берется по всем разложениям вида (70) функции [pic], а с и С
[pic] - абсолютные константы.

Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции [pic] нашлось разложение вида (70). Покажем, что [pic] и
[pic] . Для этого достаточно проверить, что для любого атома [pic] имеет место неравенство

[pic]. (72)
Пусть [pic]- такой обобщенный интервал, что

[pic], [pic] , [pic] (73)
(случай [pic] тривиален). Так как [pic] , то нам остается доказать, что

[pic]. (74)
Для любого измеримого множества [pic], применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

[pic], (75) откуда сразу вытекает (74), в случае, когда [pic].
Допустим теперь, что [pic], и обозначим через [pic] обобщенный интервал длины [pic] с тем же центром, что и [pic]. Из (75) следует, что

[pic].
Нам остается оценить интеграл [pic]. Мы воспользуемся очевидным неравенством

[pic], [pic], где [pic]- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки [pic] и [pic], а [pic] - абсолютная постоянная. В силу (73) при
[pic] мы имеем
[pic]где [pic]- центр обобщенного интервала [pic]. Из последнего соотношения, учитывая, что [pic] и [pic], мы находим

[pic], [pic], где [pic] .
Следовательно,

[pic].
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции [pic] разложение (70), для которого

[pic].
Пусть функция [pic] с [pic] такова, что выполнено соотношение (65), и пусть [pic] ([pic]) - нетангенциальная максимальная функция для [pic], т.е.

[pic] , [pic], (75') где [pic]- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки
[pic] к окружности [pic], и наибольшей дугой окружности [pic], заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что [pic], поэтому нам достаточно найти такое разложение функции [pic] на атомы (70), что

[pic], (76) где постоянные С и [pic]([pic]) не зависят от [pic]. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число [pic]: пусть, например,
[pic]. Не ограничивая общности, мы можем считать, что

[pic]. (77)
Рассмотрим на отрезке [pic] множества

[pic] , [pic] , [pic] (78)
Так как при любом [pic] множество точек единичной окружности [pic] открыто, то ясно, что при [pic] множество [pic] (если оно непустое) представимо
(единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

[pic], [pic] при [pic], [pic] , [pic]. (79)
Положим [pic] и при [pic]

[pic] (80)
Так как [pic] конечна для п.в. [pic], то из определения функций [pic],
[pic], следует, что для п.в. [pic] [pic] при [pic], а значит, для п.в. [pic]

[pic] .
Отсюда, учитывая, что [pic], а следовательно из (80), [pic] при [pic], мы находим, что

[pic], (81) где [pic]- характеристическая функция множества [pic]. Из (81), учитывая, что [pic], мы для функции [pic] получаем следующее разложение:

[pic] для п.в. [pic], (82) где

[pic], [pic], [pic] (83)
С помощью функций [pic] мы и построим нужное нам разложение вида (70).
Прежде всего отметим, что при [pic], [pic]

[pic] , [pic] . (84)
Докажем теперь, что для п.в. [pic]

[pic] , [pic] , (85) где постоянная [pic] зависит только от числа [pic], зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75') [pic] для п.в.[pic] , то из (77) следует, что

[pic].
Пусть теперь [pic], [pic] - один из обобщенных интервалов в представлении
(79), тогда из (77) и (78) [pic] , и если [pic], [pic] - концевые точки дуги [pic] ([pic]) , то [pic], а значит,

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата