Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

2) при [pic] функции [pic] , [pic], сходятся по мере к

[pic];

3) [pic] , [pic] , [pic], где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что [pic], где [pic], поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций [pic],[pic]:

[pic] по мере [pic]. (38)
Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что

[pic], [pic] . (39)
Тогда согласно 3)

[pic] (40) и при [pic]

[pic]. (41)
Так как [pic] - полином, то [pic] и

[pic] . (42)
Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим [pic] ,
[pic], что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции [pic] справедливы соотношения
1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic].
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию [pic]в виде

[pic], [pic], [pic] . (43)
Из непрерывности функции [pic] легко следует, что

[pic] равномерно по [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic] с учетом (43) мы будем иметь

[pic], [pic] (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)

[pic] ; из этого неравенства и (44) вытекает, что при [pic]

[pic].
Для доказательства оценки 3) заметим, что

[pic], где [pic]. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции [pic]и учитывая, что [pic], получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме
5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть [pic] ([pic],[pic],[pic]) и
[pic]. Тогда по теореме 4 [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic] для п.в. [pic].
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при [pic] и [pic]

[pic], [pic].
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic],

[pic], [pic].

(45)
Согласно теореме 1

[pic]. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости [pic]([pic]) следует сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом,

[pic] по мере ([pic]), а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic].
Теорема 5 доказана.
Следствие 1. а) Если [pic], то [pic]; б) если [pic] и [pic], то [pic]; в) если [pic], [pic], [pic], [pic], то

[pic]. (47)

Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.
Чтобы получить в), положим

[pic],

[pic].
Согласно теореме 5 [pic], [pic], а следовательно, [pic]. Но тогда (для п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата