Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] [pic].

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками
[pic] выполнено неравенство [pic].

Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке
[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic] найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]:
[pic], выполняется неравенство [pic].

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой совокупность тех функций [pic], [pic], которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из[pic], т.е. представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы получаем следующие результаты: при [pic] пространство [pic] совпадает с [pic], а при р=1 [pic] уже, чем
[pic], и состоит из функций [pic], для которых и [pic].

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции [pic], аналитической в круге [pic] с нулями [pic], [pic] ([pic]) с учетом их кратности:

[pic], где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic].

Здесь доказывается, что каждая функция [pic] представима в виде
[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic],а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции .
Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для
[pic]положим

[pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic].

Тут же мы доказываем теорему об оценке [pic]: если [pic] ([pic]),
[pic], то [pic] и [pic].

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году
Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось, оно уже, чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема
- критерий принадлежности функции пространству [pic]. Здесь вводится понятие атома: действительная функция [pic] называется атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].
Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из [pic], либо множество вида[pic] [pic]([pic]).

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году
Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда и только тогда, когда функция
[pic] допускает представление в виде
[pic], [pic], где [pic], [pic], - атомы. (*)
При этом [pic], где inf берется по всем разложениям вида (*) функции
[pic], а с и С [pic] - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству
[pic], легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств [pic] и [pic]. Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение [pic]: пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию

[pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . А затем доказываем теорему о том, что [pic].

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и пространствах [pic], [pic]и [pic]

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические, комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на (-(,(( и cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) , n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn (f)= [pic]-i n tdt , n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( . ( 2 )

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата