Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

[pic] (20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем [pic] и
[pic]. Тогда для всякого [pic] , существует функция [pic] вида

[pic] , (21) обладающая свойствами: а) [pic] ; б) [pic] ;

(22) в) [pic] .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть [pic] , где [pic] - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для [pic]

[pic].
Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic].
Рассмотрим для данных [pic] функцию [pic], построенную в лемме 1 для числа ( и множества [pic]. Тогда нетрудно проверить[3], что если
[pic], а [pic] , то разность

[pic]. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

[pic] , и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
[pic] [pic], где [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле,
[pic], [pic]- ядро Фейера.
Отметим, что при [pic] ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) [pic], [pic]; б) [pic],
Мз которых вытекает, что для [pic] и [pic]
[pic], [pic]
Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic].

Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой

[pic][pic] и [pic]
Так как средние Фейера [pic]равномерно сходятся к [pic] и
[pic] , то существует тригонометрический полином

[pic] (24) такой, что

[pic] (25)
Пусть [pic]. Рассмотрим для каждого ((( такую функцию [pic], что

[pic], [pic]

[pic]
(функцию [pic] можно построить следующим образом: взять замкнутое множество [pic] с мерой [pic] , достаточно близкой к 2(, и положить
[pic] ).
Так как [pic] (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых ((( функция [pic] удовлетворяет соотношениям

[pic] (26)
При этом [pic], если [pic]. Тогда средние Фейера [pic] функции h(t) имеют вид

[pic] и при достаточно большом N

[pic] (27)
Положим

[pic] , [pic] (28)
Так как h(t) - действительная функция, то [pic] , n=(((((((((. Поэтому

[pic] и [pic]. (29)
Определим искомую функцию g(t) :

[pic]
Ясно, что [pic], а из (24) и (28) следует, что [pic] при n0; б) если [pic], [pic], то [pic] и [pic].
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны [pic]: а) [pic] ; б) [pic], [pic], [pic], [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] , где [pic]- такая действительная функция, что ее сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]:

[pic]. (36)

Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :[pic], имеют место равенства

[pic], [pic] (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
[pic], [pic], [pic], [pic]
[pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если [pic]- произвольный тригонометрический полином.
Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим

[pic] , [pic], где [pic], [pic], [pic].
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) [pic], [pic], [pic];

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата