Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство [pic] совпадает с [pic]. Для р=1 это не так. Пространство [pic] уже, чем [pic], и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых и [pic].
[pic] - банахово пространство с нормой

[pic]. (49)
Полнота [pic] с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства [pic]: если [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], и так как [pic]по мере при [pic], то [pic]и [pic] при [pic].
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда [pic], [pic], [pic], [pic].
Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic] функцию [pic] и учитывая б), мы получим

[pic], если [pic]. (50)

§I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - [pic] удовлетворяет условию

[pic] , [pic], [pic]. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

[pic]. (52)
Для фиксированного [pic], [pic], при [pic] имеет место оценка

[pic]. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге [pic], т.е. функция [pic] аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic], [pic], и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic] , [pic]), мы находим

[pic] , [pic]. (54)
Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с [pic], причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

[pic] , [pic]
Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге радиуса больше единицы, и [pic], если [pic] . Следовательно, [pic] и согласно п.3 теоремы 4 [pic]. Но тогда

[pic] и

[pic], [pic] (55)
Так как [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic], а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic]) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic]. Произведение

[pic] (56) называется произведением Бляшке функции [pic].
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция [pic] представима в виде

[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и

[pic], [pic], а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Доказательство.
Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] ( или, что то же самое, нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось выше, [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и

[pic] , [pic]. (57)
При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и [pic] .
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения
(56):

[pic], [pic], [pic].
Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4

[pic] и

[pic] , если [pic].
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
[pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим

[pic], [pic], т.е. [pic], [pic].
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для
[pic]положим

[pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic].
В силу теоремы 2

[pic] для п.в. [pic]. (58)
Установим, что для произвольной функции [pic] величина [pic] не превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*) в точке х, т.е.

[pic], [pic]. (59)
Нам понадобится утверждение 3. а) если функция [pic], то для любого [pic]

[pic]; б) если функция [pic],[pic] то [pic], где [pic] - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата