Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

Доказательство теоремы 9. а) Пусть [pic]. Положим

[pic]
Так как всегда [pic] , то, учитывая равенства

[pic], [pic] , [pic]

[pic], мы с помощью следствия 2 находим

[pic], [pic] (96)
Допустим, что [pic] ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

[pic], [pic] , (97) где функции [pic] являются атомами и [pic], и при [pic]

[pic], [pic] , [pic]. (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic].
Отсюда, учитывая, что функции [pic], [pic], по модулю не превосходят суммируемой функции [pic] и для п.в. [pic] [pic], мы получим, что

[pic][pic] .
Таким образом, равенством

[pic] , [pic], (99) определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в [pic] линейном многообразии (плотность функций из [pic] в [pic] вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции [pic] частные суммы разложения (70) сходятся к [pic] по норме [pic], и, очевидно, принадлежат пространству
[pic]). Поэтому функционал [pic] можно единственным образом продолжить на все пространство [pic]:

[pic], [pic]. (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции [pic] ряд
(94) сходится и его сумма равна [pic]. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме [pic] к [pic]:

[pic]. б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на [pic]. Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции [pic]

[pic]
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на [pic], а следовательно, найдется функция [pic] с

[pic] , (101) для которой

[pic] , [pic]. (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если [pic]- произвольный атом.
Докажем, что

[pic]. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, [pic] - произвольная функция с
[pic]. Тогда функция

[pic] , [pic] , является атомом и в силу теоремы 8 [pic]. Поэтому
[pic]
[pic] .
Подбирая в последнем неравенстве функцию [pic] оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

[pic], что с учетом соотношения [pic][pic] доказывает оценку (103).
Таким образом, для [pic] значение функционала [pic] совпадает со значением ограниченного линейного функционала [pic] на элементе [pic] (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство [pic] плотно в
[pic], то, следовательно,

[pic][pic] для любой функции [pic].
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.:

Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико- математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука,

1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука,

1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если (x( ( ( .

*) Так как функция [pic] определялась для функций [pic], заданных на [pic], то мы дополнительно полагаем [pic], если [pic]; [pic]при [pic] и [pic] при
[pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата