Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic], [pic]. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

[pic] при [pic]. (87)
Легко видеть (учитывая, что [pic] и [pic]) , что множества [pic] и
[pic] пересекаются в одной точке:

[pic] с [pic] , [pic]. (88)
Пусть [pic], [pic], - отрезок, соединяющий точки [pic] и [pic]. Так как
[pic] , [pic], то из непрерывности функции [pic] при [pic]и неравенства
(87) вытекает, что [pic], если [pic], [pic], и [pic]. Поэтому , учитывая
(88)

[pic] , [pic],[pic], [pic]. (89)

|Рассмотрим область [pic], |[pic] |
|ограниченную | |
|отрезками [pic] и [pic] и дугой| |
|[pic]; | |
|пусть, далее, для [pic] | |
|[pic] , | |
|[pic], [pic]. | |

По теореме Коши [5] [pic].
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги [pic] справедливо равенство
[pic], мы получим

[pic].
Но в силу теорем 4 и 5

[pic], [pic], и так как [pic], [pic], то мы находим, что

[pic] . (89')
Легко видеть, что отношение [pic] ограничено сверху числом, зависящим только от (, поэтому

[pic] , [pic]. (90)
Так как [pic], то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для [pic],
[pic], справедливо неравенство (85). Для п.в. [pic] неравенство (85) сразу следует из определения функций [pic] и множеств [pic].
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что [pic], а это значит, что функции

[pic] , [pic] , [pic], являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции [pic] на атомы:

[pic] для п.в. [pic] , где [pic] , [pic].
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем
[pic][pic].
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и

ВМО.
Дадим описание пространства [pic], сопряженного к банахову пространству
[pic]. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию

[pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

[pic] . (92)
Ясно, что [pic] . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции.
Нетрудно проверить, например, что функция [pic].
Теорема 9.
[pic], т.е. а) если [pic], и для произвольной функции [pic] рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

[pic], [pic] , [pic], [pic] - атомы*) (93) и положить

[pic] , (94) то сумма [pic] ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на [pic]; б) произвольный ограниченный линейный функционал [pic] на [pic] представим в виде (94), где [pic]. При этом

[pic]
(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.
Пусть функция [pic] такова, что для любого обобщенного интервала [pic] найдется постоянная [pic], для которой

[pic], где М не зависит от [pic]. Тогда [pic] и [pic].

Доказательство.
Для любого обобщенного интервала [pic] мы имеем

[pic], откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если [pic], то [pic] и

[pic]. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

[pic] для произвольного обобщенного интервала [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата