Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Так как [pic] для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic] сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 ) где

[pic] , t (
((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим : fr ( x ) = [pic]
=[pic] ,

( 6 ) где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((
( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 )
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (
(+ ( .
Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic] связаны с коэффициентами Фурье функции [pic] следующим образом :

[pic] и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) [pic] ; б) [pic] ;

(11) в) для любого (>0

[pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] . ( 12 )
Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,

[pic][pic].
Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.
Пусть функция [pic], суммируема на любом интервале (a,b), a 0
[pic] , [pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата