Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic] называется функция

(r ( x ) = [pic] , где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств: а) [pic] ; б) [pic] ;

в) для любого (>0

[pic]

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона [pic]при [pic]:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных
[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет уравнению Лапласа:

[pic].

Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается

[pic] , [pic].

Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается

[pic] , [pic].

Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic] определяется равенством

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

[pic] .
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде

[pic], [pic] , [pic], где [pic] для п.в. [pic] , при этом

[pic] [pic] ;

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: решебник по алгебре, мировая торговля.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата