Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ.

Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений +, для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

, (1)

и отыскания этих нетривиальных решений.

Здесь -квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец.

Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда

, (2)

где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель , ïîëó÷àåòñÿ алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени.

Определитель называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением.

Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение .

Метод Данилевского развертывание векового определителя.

Определение. Квадратная матрица Р порядка m называется подобной матрице А , если она представлена в виде

,

где S - невыродженная квадратная матрица порядка m.

ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают .

Доказательство.

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса

.

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы школа, свобода реферат.





Предыдущая страница реферата | 5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 | Следующая страница реферата