Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при [pic] неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

[pic] (2’)

[pic] (2’’)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть

[pic] (3’)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть

[pic] (3’’)
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic]. Если же [pic] и
[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода
[pic], можем написать, что падение напряжения на элементе [pic] равно
[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного [pic], и индуктивного, равного [pic]. Итак,

[pic] (4) где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение

[pic] (5)
Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за время [pic], будет

[pic]
Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic], и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную
[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на [pic], получим уравнение

[pic] (6)
Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

[pic]
Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:

[pic] или

[pic] (7)
Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

[pic] (8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

[pic] где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.
Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

[pic]

удовлетворяющее однородным граничным условиям

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата