Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата

[pic]
Сокращая на [pic]t, получаем:

[pic] (12)

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, [pic] – замкнутая поверхность)

[pic] полагая F = k grad u:

[pic]

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:

[pic]

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :

[pic] (14) где P (x, y, z) – некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

[pic] (15)

Но

[pic]
Подставляя в уравнение (15), получаем:

[pic] (16)

Если k – постоянное, то

[pic] и уравнение (15) в этом случае дает:

[pic] или, положив [pic]

[pic] (17)

Коротко уравнение (17) записывается так:

[pic] где [pic]u – оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело [pic], поверхность которого [pic]. В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное условие: u (x, y, z, 0) = ? (x, y, z). (18)

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности [pic] тела в любой момент времени t – граничное условие: u (М, t) = ? (М, t). (19)
(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:

[pic] (20)

- уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19), формулируются так: u (x, y, 0) = ? (x, y), u (М, t) = ? (М, t), где ? и ? – заданные функции, М – точка границы С.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.





Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата