Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

[pic] или

[pic] (5) где с – теплоемкость вещества стержня, [pic] – плотность вещества стержня
([pic][pic]xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла
[pic], получим:

[pic]

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные.
Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для
[pic], следующие: u (x, 0) = ?(x),

(7) u (0, t) = ?1(t),

(8) u ([pic], t) = ?2(t).

(9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при
[pic] в разных сечениях стержня задана температура, равная ?(x). Условия
(8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = [pic] поддерживается температура, равная ?1(t) и ?2(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области
[pic], удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве.
Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку [pic]s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле (1))

[pic] (10) где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке [pic]s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:

[pic] где [pic] – направляющие косинусы вектора n, или

[pic]
Подставляя выражение [pic] в формулу (10), получаем:

[pic]Q = -k n grad u [pic]s.

Количество тепла, протекающего за время ?t через площадку ?s, будет равно:

[pic]Q[pic]t = -k n grad u [pic]t [pic]s.

Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:

[pic] (11) где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S.
Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V
(или уходящего из объема V) за время [pic]t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим элементарный объем [pic]v. Пусть за время [pic]t его температура поднялась на [pic]u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента [pic]v, будет равно

[pic] где с – теплоемкость вещества, ? – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время [pic]t, будет

[pic]

Но это есть тепло, поступающее в объем V за время [pic]t; оно определено формулой (11) . Таким образом, имеет место равенство

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата