Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

[pic]
Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

[pic][pic] т. е.

[pic]
Но в рассматриваемом случае [pic] – действительно и положительно, так что
[pic]. Поэтому

С1 =0, С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

2. При [pic] = 0 также не существует нетривиальных решений.

Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:

[pic] т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

3. При [pic] › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

[pic]
Граничные условия дают:

[pic]
Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2[pic]0, поэтому

[pic] (19) или

[pic] где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

[pic]
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

[pic] где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях [pic], равных

[pic] (20) существуют нетривиальные решения задачи (11)

[pic] (21) определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям [pic]n соответствуют решения уравнения
(9)

[pic] (22) где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

[pic] (23) являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций ((x) и ((x).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата