Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

[pic]
- уравнение распространения тепла в стержне.

§2.2. Температурные волны.

Задача о распространении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой
Фурье, к изучению явлений природы.

Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство [pic]. Эта задача является характерной задачей без начальных условий, так как при многократном повторении температурного хода на поверхности влияние начальной температуры будет меньше влияния других факторов, которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы). Таким образом, приходим к следующей задаче: найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

[pic] (1) удовлетворяющее условию u (0, t) = A cos [pic]t. (2)

Предполагается, что функции u (x, t) и ( (t) ограничены всюду, т.е.

[pic]

Запишем граничное условие в виде

[pic] (2’)
Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.

Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию

[pic]
Итак, рассмотрим задачу:

[pic] (3)
Ее решение будем искать в виде

[pic] (4) где [pic] и [pic] - неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

[pic], откуда

[pic]
Для u (x, t) имеем:

[pic] (5)
Действительная часть этого решения

[pic] (6) удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула
(6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

[pic] (7)

На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем:

1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

[pic], т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).

2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время
[pic] запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине

[pic]
(второй закон Фурье).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат легкая атлетика, франция реферат.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата