Раздел 1. Классическая вероятностная схема

1.1 Основные формулы комбинаторики

В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т.д.). Число шансов — это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие.

Теорема о перемножении шансов

Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов, причем i-я группа содержит ni элементов, 1 0, P(A) > 0).

Теорема умножения для большего числа событий:

Теорема 7. P(A1 ? A2 ?…? An) = P(A1) P(A2A1) P(A3 A1 ?A2)… P(An
A1?…?An-1)если соответствующие условные вероятности определены.

4.2 Независимость

Определение 16. События A и B называются независимыми, если P(A?B) =
P(A)P(B)

Пример 14.

1. Точка с координатами ?, ? бросается наудачу в квадрат со стороной 1.
Доказать, что для любых х, у (R события A = { ? np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0
= np + p и k0 –1 > np + p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0 = [np + p].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 12. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

a) единственное число k0 = [np + p], если число np + p не целое;

б) два числа k0 = np + p и k0 -1= np + p -1, если число np + p целое.

Пример 19. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2— не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [n/2 + 1 /2] = n/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0, 1, …n успехов, причем вероятности получить k и n-k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2 — целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n/2 + 1 /2 и n/2 - 1 /2.

5.3 Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании.
Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину ? , равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 13. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна

P(? = k) = p qk-1.

Доказательство. Действительно,

Определение 21. Набор чисел {p qk-1 } называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается Gp или G(p).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.