Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата



В силу определения [pic]

[pic]

Раздел 6. Случайные величины и их распределения

6.1 Случайные величины

Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов.
Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).

Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство
(?, ?,Р).

Определение 23. Функция ?: ? >R называется случайной величиной, если для любого х ( R множество { ? < x} = {?: ?(?) < x} является событием, то есть принадлежит ?-алгебре событий ?.

Замечание 10. Можно смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из ? в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет.

Определение 24. Будем говорить, что функция ?: ? >R является ?
-измеримой, если {?: ?(?) < x} принадлежит ? для любого х ( R.

Итак, случайная величина есть ? - измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ? ( ? число ?(?) ( R.

Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , и две функции из ? в заданы так: ?(?)= ? , ?(?)= ?2.

Если ? есть множество всех подмножеств ?, то ? и ? являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит ?, в том числе и {?: ?(?) < x} или {?: ? (?) < x} . Можно записать соответствие между значениями случайных величин ? и ? вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

|? |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|Р |1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|

|? |1 |4 |9 |16 |25 |36 |
|Р |1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|1/6|

Здесь 1/6 = Р(?=1)=…= Р(?=6) = Р(? =1)= …= Р(? =36)

Пусть ? -алгебра событий ? состоит всего из четырех множеств:

? = { ? ,(, {1,3,5},{2,4,6} }

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» ? -алгебре ни ?, ни ? не являются случайными величинами, так как эти функции не ? - измеримы. Возьмем (например) x = 3,967. Видим, что

{? ( ?: ?(?) < 3,967}= {1, 2, 3}( ? и {? ( ?: ? (?) < 3,967}= {1}( ?

Теперь попробуем понять, зачем нужна ? - измеримость и почему требуется, чтобы {?: ?(?) < x} являлось событием.

Если задана случайная величина ?, нам может потребоваться вычислить вероятности типа

P(? = 5) = P{?: ?(?) = 5},

P (? ( [-3,7]),

P(? ( 3,2),

P(? > 0)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата