Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата



Функция распределения дискретного распределения

Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Из свойств (F4), (F5) следует

Свойство 4. Случайная величина ? имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F? — ступенчатая функция. При этом возможные значения ? — точки ai скачков F?, и

pi = P(? = ai ) = F? (ai + 0) - F? (ai )— величины скачков.

В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 4 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).

Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 28.Случайная величина ? имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f?(x) такая, что для любого х ( R функция распределения F?(x) представима в виде

[pic]

При этом функция f?(x) называется плотностью распределения случайной величины ?.

Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f?(x)( 0 для любого x;

(f2) [pic]

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 2. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина ? на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть ? есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f (« подграфик» функции f). Площадь области ? равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина ? есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.

Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого х ( R

[pic]

то есть f является плотностью распределения случайной величины ?

Свойства плотностей

(f3) Если случайная величина ? имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Следствие 4. Если случайная величина ? имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(? = х) = 0 для любого х ( R.

(f4) Если случайная величина ? имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и

[pic]

для почти всех х.

Замечание 12. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме
(возможно) х из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачати реферат на тему, бесплатные рефераты без регистрации скачать.

Предыдущая страница реферата | 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 | Следующая страница реферата