Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

В результате рассмотрения примеров учащиеся отмечают те случаи, в которых рациональнее применять второй способ деления. Подчеркивается удобство 2-го способа при устных вычислениях.

На этом кончается первая часть изучения действий над дробями, которая тесно примыкает к теме о целых числах, так как определения действий, рассмотренных в этой части, мало отличаются от определений соответствующих действий над целыми числами.

Умножение на дробь

Вторая часть начинается с изучения действия умножения на дробь и представляет новый этап в изучении действий над дробями. Смысл действия умножения на дробь резко отличается от умножения на целое число. Учащиеся привыкли до сих пор понимать под умножением сложение равных слагаемых, произведение считать больше множимого (смысл умножения на единицу им кажется мало отличающимся от обычного понимания умножения). Для умножения на дробь все эти представления не подходят. Поэтому определение умножения на дробь нелегко воспринимается учащимися. Необходимо показать учащимся целесообразность введения нового определения для умножения на дробь и конкретный смысл этого определения. В связи с этим методическая и учебная литература предлагает различные подходы к введению определения умножения на дробь или к выводу правила умножения на дробь, которое в большинстве случаев заменяет определение.

В учебной и методической литературе XVIII века и первой половины XIX века существовал следующий подход к выводу правила умножения на дробь.

Рассуждения велись так: чтобы умножить 5 на [pic], умножим 5 сначала на
3, получим произведение 15, которое больше истинного, так как множитель увеличен в 4 раза; чтобы получить истинное произведение, надо полученное произведение 15 уменьшить в 4 раза, будем иметь

[pic]

Такой подход неправилен с точки зрения логического построения математики, так как свойства произведения целых чисел распространялись на произведение в случае дробного множителя, хотя еще не установлено, что значит „умножить число на дробь" и можно ли распространить эти свойства на новое произведение. Кроме того, этот подход страдает формализмом' из этих рассуждений не следует, к каким задачам возможно применение действия умножения на дробь.

Существует еще и такой подход:

(по переместительному закону умножения) =

[pic]

Отсюда выводится правило. Ошибка этого рассуждения в том, что распространяется переместительный закон на действие, которое еще не определено и не доказано, что оно обладает переместительным законом.
Рассуждение было бы правильно, если бы оно построено было так: произведение целого числа на дробь должно быть составлено так, чтобы порядок сомножителей не имел значения, т. е. для действия умножения на дробь оставался бы справедливым переместительный закон. Была попытка дать общее определение действия умножения, пригодное и для целого и для дробного множителя. Это определение было дано в следующей формулировке: умножить одно число на другое ( значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы. Смысл рассуждений при этом был следующий.

При умножении на целое число имеем:

[pic]

При умножении 5 на [pic], так как множитель т. е. единица разделена на 4 и полученное частное взято слагаемым 3 раза, должны получить:

[pic]

Это определение было в ходу в ряде учебников дореволюционной школы.
Основной недостаток этого определения ( формальный характер его образования. Из определения неясно, к каким конкретным задачам можно применить умножение на дробь. Нельзя подвести учащихся к составлению этого определения из рассмотрения конкретных задач. Вторым недостатком является математическая неточность. Из определения неясен способ составления множителя из единицы; число может быть составлено из единицы различными способами, как целое, так и дробное. Число [pic] может быть составлено так:

[pic]

Если при умножении 5 на [pic] произведение из множимого составить так же, как [pic] составлено из единицы, то получим

[pic] т.е. совсем другой ответ, чем раньше. Кроме того, общее определение умножения затушевывает необходимость нового определения при умножении на дробь.

Перед введением определения действия умножения на дробь рассматривается решение задачи на нахождение части числа. В программе и в стабильном учебнике эта задача носит название: „нахождения дроби числа". Замена слова
„части” словом „дроби" вызвана, очевидно, расширением рассматриваемой задачи; в стабильном учебнике рассматриваются и такие задачи, например:
„найти [pic] числа [pic]”, (т.е. требуется найти число долей от числа большее, чем во всем числе). Система упражнений должна быть составлена так, чтобы первые задачи и примеры помогли учащимся повторить сведения, полученные из начальной школы, т. е. числа должны быть подобраны так, чтобы само число и искомая доля числа были целым числом.

Первая группа упражнений.

Пример. Найти [pic] от 60.

Решение. [pic] от 60 составляет 60 : 5 = 12.

[pic]от 60 составляют 12 · 4 = 48.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная работа 2, виды шпор.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата