Неопределенные бинарные квадратичные формы

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: дипломная работа по экономике, конспект урока
| Добавил(а) на сайт: Ливия.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число бинарной квадратичной формы

Предположим, что собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы и эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

тогда

Предположим , значит:

Таким образом, форма — это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа при некоторых целых и , а также для квадратичной формы выполняется равенство , значит, квадратичная форма представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме называют классом форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта , бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма дискриминанта называется определенной, если и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при и отрицательные при ), а при она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты и формы отличны от нуля и корни уравнения вещественны, различны и иррациональны.