Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

При  формы и порядок называются собственно примитивными, а при  и  ( ) — несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185]

О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме  называется форма , которая получается из формы  подстановкой , где  — некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма  собственно эквивалентна форме . Зависимость между соседними формами  и  можно охарактеризовать так: во-первых, формы  и  имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент  формы  является вместе с тем первым коэффициентом формы ; в третьих, сумма их средних коэффициентов  делится на .

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма  к форме .

Из определения соседних форм непосредственно следует предложение 1: соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть — приведенная форма дискриминанта , и для нее  является соседней справа; для  форма  является соседней справа; для  форма  является соседней справа и т.д. Тогда все формы , , ,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме .

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм , , , ,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что  и  совпадают, то формы  и  будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому  и  и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду , , ,… обязательно повторится первая форма  и если — первая форма в этом ряду, совпадающая с , то все формы , , , ,…, различны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм , , ,…, называется периодом формы .

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы , , ,… представлены следующим образом

, , ,…, , , ,…, то все величины  будут иметь одинаковые знаки, причем  все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы , всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма , которая содержится в периоде формы , будет иметь тот же период, что и .Именно, этот период будет таков:

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы по математике, как написать дипломную работу.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата