Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом  разбиваются на следующие шесть периодов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

V. ;

VI .

Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы  и , и их классы называются обратными: если — один из этих классов, то другой класс  будет обратным к классу  в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма  переводится в форму  подстановкой  определителя , то каждая форма класса  несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса  , и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм, их классы будут обратными. (При этом еще учитывается, что если форма  несобственно эквивалентна , а  собственно эквивалентна , то  несобственно эквивалентна ).

Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается предложение 5: каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть — двусторонний класс и . Покажем, что  несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим .

Тогда форма  , и пусть  переводится в  подстановкой  , и запишем это в следующем виде: . Т. к.  — двусторонний класс, т.е. , то . Но так как , то  и  собственно эквивалентны, то найдется подстановка  определителя , что . Тогда получаем , т. е. . Но так как , то форма  несобственно эквивалентна самой себе.

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма , в которой  делится на , называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.

Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма .

Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу.

Доказательство. Пусть  — двусторонняя форма, т.е.  ( делится на ), и обозначим ее класс через . Покажем, что — двусторонний класс. По определению, обратная к  форме . Так как , то форма  переводится в себя подстановкой . Далее имеем, что  переводится в  подстановкой

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: ответы по математике, как написать дипломную работу.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата