Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Заметим ещё, что дифференциалы dху и dхх являются функциями переменной х, причём функция dхх принимает постоянное значение (х.

1.3 Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

(у = f’(х)(х или dхх = f’(х)dхх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной, х = х(t).

Теорема. Если функции х = ((t) и у = ((t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t1 и х = х1 = ((t1), то дифференциал сложной функции у = f(((t)) = ((t) может быть представлен в виде dtу = f’(х1) dtх.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем dtх = (’(t1) dtt (11) dtу = (’(t1) dtt (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

(’(t1) = f’(х1) (’(t1)

Подставив это выражение в формулу (2), получим: dtу = f’(х1) (’(t1) dtt, отсюда в силу формулы (11) dtу = f’(х1) dtх (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде dу = f’(х) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dх или dt.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, dtх и dtу.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то у’х = f’(х); когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой
(промежуточной) функции и, то у’х = f’(и)и’х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы: dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи или dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного.
Пусть и и ( — функции от х: и = f(х), ( = ((х), имеющие непрерывные частные производные.

Если положить у = и + (, то у’х = и’х + (’х, откуда у’х dх = и’х dх + (’хdх, следовательно dу = dи + d(, то есть d(и + () = dи + d(.

Аналогично dси = сdи, где с – постоянное число; d(и() = иd( + (dи, d ( ) = .

Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала.

Дифференциал можно геометрически представить следующим образом:

Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg ( . dх = СД.

Таким образом, если (у – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.

Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от (у, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата