Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Аналогично можно построить график любой первообразной функции.
Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина
С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

3 Основные свойства неопределённого интеграла.

1) Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

[ f(х)dх ]’ = f(х) .

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, f(х)dх = F(х) + С, (V) где F’(х) = f(х)

Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’, откуда

[ f(х)dх ]’ = F’(х) + С1 = F’(х) = f(х) .

2) Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть d f(х)dх = f(х)dх

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, f(х)dх = F(х) + С d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть dF(х) = F(х) + С, (v)

Доказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь d dF(х) = dF(х) (по свойству 2) d(F(х) + С) = dF(х) следовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть dF(х) = F(х) + С

4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть а f(х)dх = а f(х)dх (а( 0)

Доказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2) и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Таким образом, дифференциалы функций а f(х)dх и а f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х)dх = = а f(х)dх * dх +
С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно, а f(х)dх = а f(х)dх.

5) Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = f1(х)dх + f3(х)dх – f3(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Дифференцирование любой части равенства даёт: d [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d[ f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх] =

= d f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата