Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

= ( ((х) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

(у = dу = f’(х)dх.

Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

1 Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.

Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х.

Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх

2) Пусть f(х) = х2.

Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх.

Известно, что если две функции f(х) и ((х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = ((х) + С, то f’(х) = (’(х) или f’(х)dх = (’(х)dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и ((х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если f’(х) = (’(х) или dхf(х) = d((х), то f(х) = ((х) + С.

Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х)

= С.

В самом деле, если х1( (а,в) и х2 ( (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0), где х1( х0( х2 . Но, так как f’(х0) =
0, то f(х2) – f(х1) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

Определение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом f(х)dх

Таким образом, по определению, f(х)dх = F(х) + С, (А) где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла.

Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием

2 Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курение реферат, доклад на тему.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата