Пределы последовательностей и функций

Контрольная работа по высшей математике

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью  называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

 при  .

Если последовательность  имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность  сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности  будет меньше e, когда абсолютная величина разности  будет меньше , но больше нуля

, если    при  .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции  при , если для любого числа  существует такое число d, что при всех  справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции         

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при  не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Производная и дифференциал

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции  в точке  называется предел отношения , когда  (если этот предел существует). Производная функции  в точке  обозначается

.

Например, выражение  следует понимать как производную функции  в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа аудит, предмет культурологии.





1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата