Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

[pic], а тем самым равное [pic], откуда вытекает доказываемый результат.

[pic]

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями [pic] в [pic] и линейными отображениями [pic] в [pic], удовлетворяющими условию [pic].

С другой стороны, если [pic], и [pic], это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

[pic]

Рис.4

Наконец, если [pic] - автоморфизм [pic] и [pic] - аффинная гиперплоскость в [pic], то включение [pic] влечет равенства [pic]. В самом деле, [pic] есть аффинная гиперплоскость в [pic], и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в [pic].

Т.о. мы можем сформулировать
Предложение 7.3. Пусть [pic] - векторное пространство, [pic] - аффинная гиперплоскость в [pic], не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций [pic] на стабилизаторе [pic] в [pic] (подгруппу
[pic], состоящую из изоморфизмов [pic], для которых [pic]).

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, [pic], [pic]
- векторные продолжения аффинных пространств [pic], [pic], а [pic], [pic] - образы [pic], [pic] при канонических погружениях [pic], [pic]: всякое аффинное отображение [pic] в [pic], отождествляется с линейным отображением
[pic] пространства [pic]в пространство [pic], удовлетворяющим требованию
[pic], и группа аффинных биекций [pic] отождествляется с подгруппой [pic], сохраняющей аффинную гиперплосклость [pic]

Случай конечной размерности.
Если аффинное пространство [pic] имеет конечную размерность [pic], то в
[pic] можно выбрать базис [pic] так, что [pic] при [pic] и [pic]. Тогда
[pic] есть декартов репер в [pic] с началом [pic] (рис 4).

В этом случае [pic] является множеством точек [pic]пространства
[pic], таких, что [pic]; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением [pic] в базисе [pic]. Эндоморфизмы [pic] пространства [pic], удовлетворяющие условию [pic], - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе [pic]имеет вид

[pic], (2) где [pic] - квадратная матрица порядка [pic]. Эндоморфизму [pic] с матрицей
(2) соответствует аффинное отображение [pic], координатное выражение которого в декартовом репере [pic] имеет форму

[pic] , [pic] (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм
[pic] с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица
(2), и тогда выполняется и равенство [pic]. Таким образом, получается
Теорема 7.4. Группа аффинных биекций [pic]-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы [pic], образованной матрицами вида (2), где [pic] принадлежит [pic].
В частности, группа аффинных биекций [pic] тела [pic] изоморфна подгруппе в [pic], состоящей из матриц вида [pic].

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через [pic], [pic] два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами [pic] над произвольными телами [pic]. Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений [pic] в [pic]. Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

Теорема 8.1. Допустим, что [pic]. Для того, чтобы инъективное отображение[pic] было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1. Образ любой аффинной прямой из [pic] был аффинной прямой в [pic];

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что [pic] удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при [pic] двух различных прямых [pic], [pic] из [pic] суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть [pic], [pic] - прямые в [pic], имеющие один и тот же образ [pic], пусть [pic] - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы [pic] точек [pic] и [pic]принадлежат [pic] и [pic] одновременно и различны (в силу иньективности [pic]), откуда следует, что [pic].

Б). Отображение [pic], [pic] не зависит от выбора [pic]в [pic].

В самом деле, пусть другая точка [pic] и [pic],[pic] таковы, что

[pic]. Если
[pic]- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ
[pic]тоже настоящий параллелограмм, откуда

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата