Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

[pic], [pic]

Если точки [pic] принадлежат одной прямой [pic], то предположение [pic] позволяет выбрать в [pic]точки [pic] так, что [pic]. Применяя предыдущий случай, имеем

[pic] откуда[pic].

Отображение [pic] обозначаем отныне просто [pic].

В). Отображение [pic] инъективно и удовлетворяет условию

[pic] [pic]. (1)

Инъективность [pic] сразу следует из инъективности [pic]. С другой стороны, для любых данных [pic] выберем в [pic] такие точки [pic], [pic],
[pic],[pic] и [pic]. Тогда [pic].

Д). Существует отображение [pic], такое, что

[pic] [pic]. (2)

Доказательство. Достаточно найти [pic], удовлетворяющее условию (2) при
[pic]. Для заданной пары [pic] выберем [pic], [pic], [pic] в [pic] так, что
[pic], [pic]. Так как точки [pic], [pic] и [pic] коллинеарны, то коллинеарны и векторы [pic]; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем [pic], такого, что [pic]. Остается доказать, что [pic] не зависит от вектора [pic] (по предположению ненулевого).

1). Если [pic]два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и [pic],

[pic]; в противном случае образы двух прямых [pic], [pic], проходящих через одну и ту же точку [pic] с направляющими [pic], совпадали бы, что невозможно в силу А).

Для любого [pic]имеем

[pic],

откуда в силу неколлинеарности [pic], [pic]

[pic].

2). Если [pic], [pic]- коллинеарные ненулевые векторы, то предположение
[pic] позволяет выбрать [pic] так, что пары [pic] и [pic] свободны. Отсюда находим, что

[pic] [pic].

Так для каждого [pic] отображение [pic], [pic] есть константа, мы обозначим ее через [pic].

[pic]
Е). Отображение [pic] является изоморфизмом тел.

Выбрав [pic], мы увидим прежде всего, что соотношения [pic] и [pic] влекут (с учетом [pic])

[pic] и [pic], т.е. показывают, что [pic] - гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки [pic][pic] отображение [pic] есть биекция
[pic] на прямую [pic]; ограничение[pic] на [pic]есть биекция [pic]на прямую
[pic]. Следовательно, композиция [pic], [pic]биективна. Отсюда вытекает, что отображение [pic] биективно.

Итак, [pic]изоморфизм тел, [pic]полулинейное отображение, ассоциированное с [pic], и [pic]полуаффинное отображение. [pic]

Случай плоскости.
Если [pic]и [pic] двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия
1) и инъективности [pic]. Мы можем, таким образом, сформулировать

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата