Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

В). Если [pic] сводится к одной точке, то меняя ролями [pic]и[pic]и применяя результат Б), мы видим, что [pic]также сводится к точке.

Лемма 5. Если [pic]пара точек в [pic], таких, что множества [pic],
[pic] непусты, то [pic] и [pic]- ЛАМ с общим направлением.

Доказательство. По лемме 2, [pic] и [pic] суть ЛАМ в [pic].
Предполагая, что [pic], фиксируем точку [pic]в [pic]и точку [pic]в [pic]; параллельный перенос на вектор [pic] обозначим через [pic]. Для любой точки
[pic] прямая [pic]параллельна прямой[pic], и поскольку образ прямой
[pic]сводится к одной точке [pic], то образ прямой [pic]сводится к одной точке [pic]. Таким образом, [pic]влечет [pic]и имеет место включение [pic].

Меняя ролями [pic] и [pic], получим включение [pic], откуда [pic].
Итак, [pic], [pic] имеют общее направление. [pic]

Лемма 6. Обозначим через [pic] общее направление непустых ЛАМ в [pic] вида [pic], где [pic], и пусть [pic]- факторпространство [pic] по отношению эквивалентности [pic], определенному условием [pic].

Тогда [pic]имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция [pic] является аффинной.

Доказательство. Выбор начала [pic] в [pic] сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства [pic] По его векторному подпространству [pic], и оказывается, что достаточно применить теорему
II.4.3, приняв точку [pic] за начало в [pic].[pic]

Отметим, что [pic]является пространством орбит действия группы трансляций [pic] на [pic]; это есть множество ЛАМ с направлением [pic].(см.
§2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение [pic]представляется в виде [pic], где [pic]- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что [pic] полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность [pic] вытекают из того, что соотношение [pic]равносильно [pic](см. лемму 5), и тем самым [pic]. Для доказательства полуаффинности [pic]покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть [pic]– произвольная аффинная прямая [pic], порожденная двумя различными элементами [pic]из [pic]. Без труда проверяется, что [pic] есть
ЛАМ в [pic], порожденное [pic].

По лемме 3, [pic]есть ЛАМ, порожденное [pic]; итак (в силу инъективности [pic]), [pic]является аффинной прямой [pic].

Наконец, [pic]не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и [pic], что противоречит условию 2).
Поэтому [pic].

Отсюда следует, что [pic]удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на [pic], при условии замены [pic]на [pic]. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении [pic]двух параллельных прямых [pic], [pic] из [pic]- две параллельные прямые. Наконец, [pic]удовлетворяет всем условиям теоремы
8.1 (после замены [pic]на [pic]). Следовательно,[pic] полуаффинно и так же обстоит дело с [pic].[pic]
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. [pic]

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела [pic] и
[pic]совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного
(например, когда [pic] или [pic]при [pic]: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга [pic] пространства
[pic] в [pic].

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение [pic]на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае [pic] условие 1) выполнено для любого отображения
[pic] в [pic](поскольку каждая прямая в [pic] и [pic]состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например, [pic], [pic] есть биекция векторного пространства [pic]над
[pic]в векторное пространство [pic]над [pic], и образ каждой прямой из
[pic]при отображении [pic]содержится в фнекоторой прямой пространства
[pic], но [pic]не является полулинейным (поскольку [pic] и [pic]не изоморфны).

Лемма 6. Обозначим через [pic] общее направление непустых ЛАМ в [pic] вида [pic], где [pic], и пусть [pic]- факторпространство [pic] по отношению эквивалентности [pic], определенному условием [pic].

Тогда [pic]имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция [pic] является аффинной.

Доказательство. Выбор начала [pic] в [pic] сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства [pic] По его векторному подпространству [pic], и оказывается, что достаточно применить теорему
II.4.3, приняв точку [pic] за начало в [pic].[pic]

Отметим, что [pic]является пространством орбит действия группы трансляций [pic] на [pic]; это есть множество ЛАМ с направлением [pic].(см.
§2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение [pic]представляется в виде [pic], где [pic]- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что [pic] полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность [pic] вытекают из того, что соотношение [pic]равносильно [pic](см. лемму 5), и тем самым [pic]. Для доказательства полуаффинности [pic]покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата