Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

. Векторное пространство [pic] изоморфное [pic],

. Ненулевую линейную форму [pic] на [pic],

. Аффинную инъекцию [pic], такую, что [pic] - аффинная гиперплоскость в

[pic]с уравнением [pic]

Доказательство. Остается только установить изоморфизм между [pic] и

[pic]. Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка[pic], отображение [pic], [pic]линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки [pic].

Заметим, что аффинная гиперплоскость [pic] имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость [pic] постоянных функций, которая отождествляется с [pic].

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве [pic] можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству [pic], но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение [pic] единственным образом определяемое заданием[pic].

Обозначения. Векторное пространство [pic], построенное таким образом, называется векторным продолжением [pic] и обозначается [pic].

Если [pic] имеет размерность [pic] то размерность [pic] равна [pic].

Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям §6. Инъекция [pic]позволяет нам отождествить

[pic] с аффинной гиперплоскостью [pic] в [pic], в то время как ее линейная часть [pic] позволяет отождествить [pic]с векторной гиперплоскостью [pic]

Предложение 7.1. Пусть [pic]конченое семейство взвешенных точек [pic], где точки [pic]отождествлены с элементами [pic]. Для того, чтобы элемент

[pic]из [pic]принадлежал [pic](соотв. [pic]), необходимо и достаточно, чтобы [pic](соотв. [pic]).

Доказательство. Это вытекает из соотношения [pic] [pic]

Правило. Отождествление [pic] с подмножеством в [pic]позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации [pic] элементов [pic]. Но такая комбинация представляет элемент из [pic]только тогда, когда [pic]( этот элемент будет барицентром системы [pic]); если же [pic]то [pic]представляет элемент из [pic]равный [pic]для любой точки

[pic].

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки [pic] из [pic] были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры [pic] такие, что

[pic] и [pic]

(1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению [pic]; они интересны своей симметричной формой относительно [pic] и возможностью складывать подобные соотношения.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата