Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата

Следствие. Если [pic],[pic]аффинные плоскости и [pic]- инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в [pic]есть прямая в [pic], то
[pic]полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если
[pic]инъективное отображение [pic]в себя, такое, что образ любой прямой
[pic] есть прямая, параллельная [pic]; тогда можно непосредственно доказать, что [pic] дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть [pic],[pic]аффинные пространства над телами [pic],
[pic], отличными от поля [pic]; для того, чтобы отображение [pic]было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в [pic] был прямой в [pic], либо сводился к одной точке.
2). Аффинное подпространство в [pic], порожденное [pic], имело размерность
[pic].

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что [pic] удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если [pic] есть ЛАМ в [pic], то [pic]- ЛАМ в [pic].

Доказательство. Пусть [pic] и [pic]- две различные точки в [pic].
Тогда прямая [pic] есть по условию 1) образ прямой [pic]; так как прямая
[pic]содержится в [pic], прямая [pic] содержится в [pic]. Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. [pic]

Лемма 2. Если [pic]- ЛАМ в [pic] и множество [pic] непусто, то оно является ЛАМ в [pic].

Доказательство. Результат очевиден, если [pic] сводится к одной точке.
В противном случае для любой пары различных точек [pic], [pic] прямая [pic] содержится в [pic] согласно 1). Таким образом, прямая [pic]содержится в
[pic] и теорема 4.8 показывает, что [pic] есть ЛАМ. [pic]

Лемма 3. Для любой непустой части [pic] пространства [pic]

[pic]. (1)

Доказательство. [pic] есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic]; по лемме 1,
[pic] есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic]. Отсюда следует включение

[pic].

Аналогично, по лемме 2, [pic]есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic], а потому и [pic]; имеет место включение [pic]; применение отображения [pic] дает [pic].

Окончательно получаем равенство (1). [pic]
Лемма 4. Пусть [pic]- пара параллельных прямых в [pic]. Если [pic]сводится к точке, то же имеет место и для [pic]. Если [pic] - прямая, то и [pic]- прямая, параллельная [pic].

Доказательство. Мы можем предположить, что [pic]. Тогда [pic] есть ЛАМ размерности 2 в [pic], порожденное двумя точками [pic], [pic]одной из прямых и точкой [pic] другой прямой; по леммам 2и 3, [pic] есть ЛАМ размерности [pic].

А). Покажем сначала, что [pic]либо [pic].

Допустим, что [pic] и [pic] действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки [pic] и [pic], такие, что [pic]. Выбирая [pic] и полагая по- прежнему [pic], получим с помощью леммы 3, что

[pic] и аналогично

[pic], откуда [pic].

Поскольку сформулированное утверждение при [pic]очевидно, будем далее полагать [pic], т.е. считать, что [pic]и [pic] не имеют общих точек.

Б). Предположим, что [pic]- прямая в [pic]и [pic]; тогда [pic] имеет размерность 2.

Если бы на прямой [pic]существовали две точки [pic], такие, что
[pic], то для любой точки [pic]мы имели бы [pic]и [pic], и тогда [pic]не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что [pic]- прямая.

Значит, [pic]и [pic] - две прямые без общих точек, лежащие в одном
ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17 | Следующая страница реферата