Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата

[pic] на [pic] образуют группу, которую мы обозначаем [pic] (соотв.

[pic]). Отображение [pic] (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм [pic]на [pic]и [pic]на группу [pic]полулинейных биекций

[pic]на [pic].

Наконец, для любой точки [pic] в [pic] ограничение [pic] на группу изотропии точки [pic]в [pic] (соотв. [pic]) является изоморфизмом этой группы на [pic](соотв. [pic]).

Последнее утверждение получим, выбирая [pic]в качестве начала в [pic].

Следствие. Если [pic]подгруппа в [pic](соотв. в [pic]), то [pic] есть подгруппа в [pic] (соотв. в [pic]); при этом если [pic]инвариантная подгруппа, то такова же и [pic].

В частности, если [pic] то [pic] есть инвариантная подгруппа в [pic], образованная трансляциями.

Если [pic]то [pic] есть инвариантная подгруппа в [pic], образованная трансляциям и центральными симметриями.

Если [pic][pic]инвариантная подгруппа группы [pic], образованная векторными гомотетиями, то [pic]есть инвариантная подгруппа в [pic], называемая группой дилатаций.

Пусть [pic]дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда [pic]векторная гомотетия вида [pic] где [pic] В этом случае [pic] имеет единственную неподвижную точку [pic] определяемую из условия [pic] где

[pic]произвольная точка [pic]. Таким образом, [pic] выражается как [pic]

Такое отображение называется гомотетией с центром [pic] и коэффициентом

[pic]

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии [pic] составляют инвариантную подгруппу группы [pic], называемую группой дилатаций [pic]. Мы обозначаем ее [pic].

Если основное тело [pic] коммутативно, то группа [pic] является инвариантной подгруппой группы [pic].

Проектирования

Назовем проектированием [pic]любое аффинное отображение [pic] пространства [pic]в себя, удовлетворяющее условию [pic]

[pic]

Рис. 2

Для такого отображения любая точка [pic]является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства [pic]. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение [pic] является проектированием, если существует ВПП [pic] пространства [pic]и ЛАМ [pic] в [pic] с направляющим подпространством [pic] дополнительным к [pic], такие, что для любой точки
[pic] ее образ [pic] есть точка пересечения [pic] с ЛАМ, проходящим через
[pic] с направлением [pic] (рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством [pic]над телом [pic]характеристики [pic].

Для того, чтобы аффинное отображение [pic] было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией [pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 | Следующая страница реферата