Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть [pic]- семейство аффинных подпространств в ? и
[pic] для каждого [pic]- направляющее подпространство для [pic].
Если пересечение [pic] непусто, то оно является аффинным подпространством в
[pic] с направляющим [pic].

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение [pic] двух ЛАМ в ? было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки [pic] и
[pic] , что [pic], и тогда

[pic] [pic] [pic].

Доказательство. Если [pic], то для любых [pic], [pic] имеем [pic] и
[pic]. Таким образом, [pic].

Обратно, если существуют [pic] и [pic], такие, что [pic], то можно представить [pic] в виде [pic], где [pic], [pic]. Тогда точка [pic], определяемая условием [pic] , принадлежит [pic] и, как легко видеть, [pic].
Это доказывает, что [pic] принадлежит также [pic], а тем самым [pic] не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если [pic], [pic]- аффинные подпространства в ?, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в [pic], то [pic] и [pic] имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий [pic],
[pic] вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: [pic].

Более общо, говорят, что [pic] параллельно [pic], если направляющие пространства [pic], [pic] многообразий [pic], [pic] удовлетворяют включению [pic].

Можно проверить, что отношение ”[pic] вполне параллельно
(соответственно параллельно) [pic] ” равносильно существованию трансляции
[pic] пространства ?, такой, что [pic] (соответственно [pic]).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством [pic]пространства ?

Предположение 3.6. Если [pic]- непустое подмножество в ?, то существует единственное аффинное подпространство в ?, обозначаемое [pic], содержащее
[pic] и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ?, содержащее [pic], содержит и [pic].

Говорят, что [pic] порождено [pic].

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: [pic] есть пересечение всех ЛАМ, содержащих [pic].
Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство
”всех ЛАМ, содержащих [pic]”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в [pic] начальной точки [pic], что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ?A, содержащего [pic] (поскольку ЛАМ, содержащее [pic], являются ВПП в ?). Таким образом, [pic] есть ВПП в ?A, порожденное [pic]; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки [pic] в [pic]. Если мы заметим, что направляющее подпространство для
[pic] есть ВПП в [pic], порожденное векторами [pic], то получим также

Предложение 3.7. Пусть [pic]- непустое подмножество в ?; для каждой точки [pic] положим [pic]. Тогда векторное пространство [pic] не зависит от выбора [pic] и [pic] есть ЛАМ, проходящее через [pic] с направлением [pic].

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если [pic]- конечное множество, то векторное пространство
[pic] не зависит от [pic] и, следовательно, совпадает с

[pic] и [pic].

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного
[pic] точками [pic] пространства ? не превосходит [pic]; его размерность равна [pic] тогда и только тогда, когда [pic] векторов [pic] ([pic]) образуют свободное семейство.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата