Структура аффинного пространства над телом

1. Введение
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1. Пусть [pic]- некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и [pic]- ее нейтральный элемент.

Говорят, что [pic] действует слева на множестве [pic], если определенно отображение [pic], [pic], такое, что набор отображений [pic],
[pic] удовлетворяет условиям

[pic] и [pic] [pic].
(1)

Аналогично говорят, что [pic] действует на [pic] справа, если определено отображение [pic], [pic], такое, что набор отображений [pic],
[pic] удовлетворяет условиям

[pic] и [pic] [pic].
(1/)

Соотношения (1) (соответственно (1/)) показывают, что [pic]( соответственно [pic])- это биекции [pic] на [pic]и что [pic]
(соответственно [pic]).

Например, любая группа [pic] действует сама на себе слева левыми сдвигами: [pic] и справа правыми сдвигами: [pic].

Группа [pic] действует на себе слева также внутренними автоморфизмами:
[pic].

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева.

Понятно, что для коммутативной группы [pic]оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.

Определение 1.2. Пусть группа [pic] действует слева на множестве [pic] с законом действия [pic]. Говорят, что [pic] действует на [pic] транзитивно, если для любой пары [pic] элементов [pic] существует хотя бы один элемент [pic], такой, что [pic]; далее, говорят, что действие [pic] просто транзитивно, если этот элемент [pic] всегда единственный.

Пример. Линейная группа [pic] автоморфизмов [pic] действует транзитивно на [pic], но это действие не является просто транзитивным, кроме случая
[pic].

Определение 1.3. Пусть группа [pic] действует слева на множестве [pic].
Стабилизатором подмножества [pic] множества [pic] называется множество
[pic].

Непосредственно ясно, что [pic]- подгруппа группы[pic]. Если множество
[pic] состоит из одного элемента [pic], то это подгруппа называется группой изотропии элемента [pic].

Замечание. Стабилизатор [pic] является пересечением двух множеств [pic] и [pic], которые не обязаны быть подгруппами [pic]. Например, если [pic] действует на себе трансляциями и [pic]- положительная полуось, то [pic] не является подгруппой, а [pic].

Определение 1.4. Пусть [pic]- группа, действующая слева на [pic]; орбитой элемента [pic] называется образ [pic] при отображении [pic].

Если [pic] действует на [pic] транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с [pic].

Замечание. На [pic]можно определить отношение эквивалентности, полагая
[pic], если существует элемент [pic], такой, что [pic]; классы эквивалентности являются орбитами элементов [pic]; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой
[pic], называется множество [pic], на котором определено транзитивное действие группы [pic].

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть [pic]- группа, [pic]- ее подгруппа, [pic]- фактормножество, образованное левыми смежными классами относительно [pic]: элементы [pic] из
[pic] объявляются эквивалентными, если существует элемент [pic], такой, что
[pic]; класс эквивалентности элемента [pic] есть множество [pic] элементов вида [pic], где [pic].