Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством [pic]. Каждое векторное подпространство [pic] пространства
[pic] образует подгруппу группы [pic], действующую на ? трансляциями. По определению, орбиты действия [pic] на ? называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением [pic]. Группа [pic], действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с [pic]; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ?.

Если [pic] есть ЛАМ с направляющим подпространством [pic] и [pic]- точка [pic], то [pic] допускает структуру векторного пространства с началом
[pic] и [pic] есть векторное подпространство в ?A. Обратно, любое ВПП пространства ?A есть ЛАМ, проходящее через [pic]; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ?, проходящие через точку
[pic], суть векторные подпространства векторного пространства ?A.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ [pic] пространства ? полностью определяется заданием множества точек [pic].

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество [pic] аффинного пространства ? называется линейным аффинным многообразием, если в [pic] существует точка
[pic], такая, что [pic] является векторным подпространством в [pic].

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть [pic]- непустое подмножество в ? и [pic]- точка
[pic], такая, что [pic] есть векторное подпространство в [pic]. Тогда для любой точки [pic] из [pic] множество [pic] совпадает с [pic].

Доказательство. [pic] есть множество векторов [pic], где [pic]; таким образом, [pic] есть образ [pic] при биекции [pic], [pic], и поскольку
[pic], то [pic].

Установив это, легко убедиться, что [pic] наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством [pic], которое не зависит от точки [pic].

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры [pic], можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием [pic] на
[pic]: ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть [pic]- векторное подпространство в [pic] и [pic]- отношение эквивалентности, определяемое на ? с помощью

[pic]; аффинными многообразиями с направлением [pic] называются классы эквивалентности по отношению [pic].

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ?, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство [pic] канонически снабжено аффинной структурой, так как [pic] действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор [pic] называется также ”началом” [pic] и

[pic] [pic] .

ЛАМ пространства [pic], проходящие через [pic], суть векторные подпространства в [pic]; ЛАМ, проходящие через точку [pic], суть образы векторных подпространств [pic] при параллельном переносе [pic].

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в [pic]).

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ?; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности [pic] суть точки ?.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата