Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Действие слева группы [pic] на [pic] определяется с помощью [pic]; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество [pic] является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть [pic]- однородное пространство, ассоциированное с группой [pic], и для любого [pic] пусть [pic]- группа изотропии [pic].
Тогда существует единственная биекция [pic] факторпространства [pic] на
[pic], такая, что для всех [pic] выполнено [pic], где [pic]- каноническая проекция и [pic]- действие [pic] на [pic].

Доказательство. Соотношение [pic] равносильно [pic] и, значит, [pic] или [pic]; следовательно, отображение [pic], [pic] переносится на фактормножество и представляется в виде [pic], где [pic]- биекция.

Специальный случай

Если группа [pic] действует на [pic] просто транзитивно, то группы изотропии [pic] тривиальны; для каждой точки [pic] отображение [pic], [pic] является биекцией, удовлетворяющей условию [pic].

Эта биекция [pic] позволяет перенести на [pic]структуру группы [pic], которая, однако, будет зависеть от выбора точки [pic], т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, [pic] допускает структуру группы, изоморфной [pic], при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть [pic]- векторное пространство над произвольным телом [pic]. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic], называется множество ?, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы [pic].
Это действие записывается обычно в виде

[pic]?[pic]?, [pic].
Для любого [pic] биекция [pic]?[pic] ?,[pic] называется трансляцией на вектор [pic]; далее, для некоторой пары [pic] элементов ? единственный вектор [pic], такой, что [pic], обозначается [pic].

Чтобы отличить элементы ? (называемые точками) от элементов [pic]
(называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как [pic], а ”векторы
-строчными, например [pic]; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic], называется множество ?, снабженное семейством биекций [pic], таких, что a) [pic]? и [pic][pic]; b) для любой пары [pic]?[pic]? существует единственный вектор [pic], такой, что [pic].

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic], называется множество ?, снабженное отображением ?[pic]?[pic], обозначаемым
[pic], таким, что a) для каждого [pic]? отображение ?[pic], [pic] биективно; b) для любых точек [pic] из ? выполнено соотношение Шаля

[pic].

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки [pic]? мы имеем [pic].

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через
[pic] единственную точку [pic], такую, что [pic], и заметив, что соотношение Шаля равносильно [pic]. Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки [pic]? отображение [pic]?, [pic] есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ? векторную структуру [pic].

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ? будет называться векторной структурой с началом [pic]; множество ? с этой структурой будет обозначаться ?A.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран.
Аффинные свойства ?- это те свойства векторного пространства ?A, которые не зависят от выбора точки [pic].

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе
”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ?. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством [pic]. По определению, размерность ? равна размерности [pic].

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности [pic], ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата