Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Если все суммы [pic] равны нулю, то все [pic] равны одному и тому же элементу [pic], такому, что [pic], где [pic].

Если характеристика [pic] отлична от 2, то [pic], и, поскольку [pic] не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая [pic] как двухэлементное подмножество, а [pic] как подмножество из [pic] элементов.

Следствие. Если характеристика [pic] не равна 2, то построение барицентра [pic] точек приводится к последовательному построению [pic] барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если [pic]- непустое подмножество в ?, то [pic] есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в
[pic].

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства [pic] понимается множество [pic].

Условившись об этом, выберем некоторую точку [pic] в [pic]. Барицентры семейства с носителями в [pic] суть точки [pic], удовлетворяющие соотношению вида

[pic],

(3) где [pic] и [pic]. При этом соотношение (3) влечет за собой [pic] и поэтому [pic] (см. предложение 3.7). Обратно, если [pic]- точка из [pic], то найдутся точки [pic], принадлежащие [pic], и скаляры [pic] ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что [pic]; это соотношение также записывается в виде

[pic] с [pic] и [pic]; таким образом, [pic] есть барицентр системы с носителем в [pic].

Определение 4.1. Подмножество [pic]? называется аффинно порождающим ?, если [pic]?; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка
[pic] из [pic] единственным образом представляется в виде

[pic], где [pic] и [pic] при любом [pic].

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало [pic] в [pic] и пологая [pic], легко видеть, что [pic] аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда [pic] свободное (соответственно множество образующих).
(Напомним, что [pic] не зависит от выбора [pic].) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество [pic] пространства ? было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы [pic] не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ?.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ?- аффинное пространство конечной размерности
[pic], то любой его аффинный репер образован [pic] точками.

Обратно, для того, чтобы [pic] точек в ? образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы [pic] векторов [pic] [pic] образовали базис
[pic], или (эквивалентное условие) чтобы точки [pic] не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если [pic] есть ЛАМ конечной размерности в ? и [pic]- аффинный репер в [pic], то [pic] есть множество точек [pic] с [pic]. Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки [pic] в ?, есть множество точек [pic].

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества [pic] точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит [pic].

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть [pic] пространства [pic] была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы a) если [pic] - любая прямая, соединяющая две точки [pic], содержалась в [pic]; b) если [pic]- эвибарицентр любых трех точек [pic] лежал в [pic].

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в [pic] точку [pic] и покажем, что
[pic] есть ВПП пространства [pic]. a) Предположив, что [pic], установим прежде всего, что условия [pic] и

[pic] влекут [pic].
Действительно, по предположению существует точка [pic], такая, что [pic].
Точка [pic], определенная условием [pic], принадлежит прямой (АВ) и, значит, [pic], откуда следует, что [pic].

Рассмотрим далее два любых вектора [pic] и [pic] в [pic] и выберем
[pic] (что возможно, так как [pic] не сводится к [pic]). Точки [pic] и
[pic] (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и [pic]. Следовательно, точка [pic] принадлежит [pic] , откуда [pic]. Итак
[pic] есть ВПП в [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата