Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

[pic]

Рис. 1 b) Если [pic], то тривиальным образом [pic] влечет [pic] (так как [pic] может принимать только два значения 0, 1). Если [pic], [pic]- два вектора из [pic], то точка [pic], определяемая условием [pic], есть эквибарицентр [pic], откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ?, [pic]- два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами [pic], [pic].
Отображение[pic]?[pic]называется полуаффинным (соответственно аффинным), если в ? существует такая точка [pic], что отображение [pic], [pic] полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ? существует точка [pic], удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ? и отображение
[pic] не зависит от [pic].

Доказательство. Для любой пары [pic]? имеем в силу линейности [pic]
[pic], что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение [pic] обозначается [pic] и называется полулинейной (соответственно линейной) частью [pic].

Истолкование. Фиксируем в ? некоторую точку [pic] и снабдим [pic],
[pic] векторными структурами, принимая за начало в ? точку [pic], а в [pic]- точку [pic]. Тогда [pic] будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если [pic]- полулинейное (соответственно линейное) отображение ?А в [pic].

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ? в себя, допускающих неподвижную точку [pic], сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ?А в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если [pic], [pic]- два векторных пространства, то полуаффинное
(соответственно аффинное) отображение [pic] и [pic] есть отображение вида
[pic], где [pic] полулинейно (соответственно линейно), а [pic]- постоянный элемент.

Непосредственные следствия. Если[pic] ?[pic] полуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ? есть ЛАМ в [pic].

2) Прообраз ЛАМ в [pic] есть ЛАМ в ? или пустое множество.

3) Для любой системы [pic] взвешенных точек ? образ барицентра [pic] есть барицентр [pic], где [pic] обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с [pic].

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ?, [pic]- аффинные пространства над телами
[pic],[pic], [pic]- изоморфизм [pic] на [pic], [pic]- аффинный репер в ? и
[pic]- семейство точек [pic], индексированное тем же множеством индексов
[pic].

Тогда существует единственное полуаффинное отображение [pic] пространства ? в [pic], ассоциированное с изоморфизмом [pic], такое, что
[pic] для всех [pic].

Более того, [pic] биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство [pic] есть аффинный репер
(соответственно свободное семейство, семейство образующих) для [pic].

Доказательство. Вернемся к теореме [pic], взяв одну из точек [pic] в качестве начала в ?, а соответствующую точку [pic]- в [pic]; отображение
[pic] определяется равенством

[pic] для любого конечного подмножества [pic] и любой системы скаляров [pic], таких, что, [pic].
В частности, аффинное отображение ? в [pic] определяется заданием образа аффинного репера из ?.

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть ?- аффинное пространство над телом [pic]. Тогда a) Если [pic] ?[pic] - непостоянное аффинное отображение, то [pic]- аффинная гиперплоскость в ? с направлением [pic]. b) Обратно, если [pic]- аффинная гиперплоскость в ?, то существует аффинное отображение [pic] ?[pic], такое, что [pic], и все аффинные отображения ? в [pic] с этим свойством суть отображения [pic], где

[pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: дипломная работа по психологии, ценные бумаги реферат.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата