Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Да, оно произошло.

Нет, оно не произошло.

Например, у меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей либо происходит, либо не происходит.

События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A,B,C,…. С событиями можно совершать операции. Эти операции являются основой алгебры событий. Объединением двух событий С=А[pic]В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий А и В. Пересечением двух событий D=А[pic]В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят и А и В.
Противоположным событием А* к событию А называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Объединением C событий A1,A2,…Ak называется событие C=[pic]Ai, которое осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется хотя бы одно из событий Ai,i=1,…,k. Пересечением D событий A1,…,Ak называется событие
D=?Ai, которое осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляются все события Ai,i=1,…,k. Разностью событий G=AB называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Среди событий особое место занимают невозможное событие и достоверное событие. Невозможное событие – это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойти не может. Его обозначают символом [pic].
Достоверное событие – это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойдет. Его обозначают буквой ?.

События A и B называются не пересекающимися, если одновременно не могут осуществиться и событие A и событие B. В таких случаях также говорят, что пересечение A?B есть невозможное событие [pic].

Некоторую совокупность L событий называют алгеброй событий, если она удовлетворяет следующим условиям. Эта совокупность L содержит невозможное событие [pic] и достоверное событие [pic]. Если L содержит некоторое событие А, то она содержит и противоположное событие А*. Если совокупность
L содержит некоторые события A1,A2,…,Ak, то она содержит и объединение
С=[pic]Ai и пересечение D=?Аi этих событий.
Например, алгеброй событий L является самая скудная такая алгебра, которая состоит всего из двух событий: из невозможного события [pic] и достоверного события [pic]. В самом деле, сколько бы мы ни составляли объединений и пересечений из этих событий, и сколько бы мы ни брали противоположных событий, мы не получим ничего другого, кроме как опять же события [pic] и
[pic]. Действительно, имеем: [pic]*=[pic], [pic]*=[pic],
[pic][pic][pic]=[pic], [pic]=[pic]. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: [pic]. В самом деле:
[pic][pic][pic]*=[pic],[pic]*=[pic],[pic][pic][pic]=[pic],[pic].

2.Вероятность.

Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только после этого момента реализуется определенность: Да, событие А произошло, или наоборот
Нет, событие А не произошло, т.е. произошло событие А*.

Каждому из рассматриваемых случайных событий приписывается число
P,0?P?1(P(A),P(B),P(C),…), которое называется его вероятностью. Это число характеризует шансы, что соответствующее событие произойдет. На практике для интересующих событий числа P назначаются, исходя из опыта и здравого смысла. Когда говорят о событиях, оговаривают обстоятельства, при которых рассматриваются эти события.

Принимают, что Р(?)=1, Р([pic])=0. Если события A1,A2,…,Ak попарно не пересекаются, то полагают Р([pic]Ai)=Р(A1)+Р(A2)+…+Р(Ak). Поэтому
Р(A)+Р(A*)=1.

Например, если подбрасывается хорошо сбалансированная монета, то вероятность того события A, что она упадет орлом вверх принимается равной
1/2, а вероятность противоположного события A*, то есть того, что она упадет решкой вверх, принимается тоже равной 1/2. При этом событие, состоящее в том, что монета встанет и останется стоять на ребре, принимается за невозможное. Если бросают игральную кость, то вероятность того, что выпадет, например, четыре очка, принимается равной 1/6.
Вероятность противоположного события, то есть того, что выпадет какое-либо число очков, не равное четырем, принимается равной 5/6. Если из хорошо перетасованной колоды в пятьдесят две карты вынимают наугад одну карту, то вероятность того, что вынут короля, равна 4/52=1/13 и т. д.

Говорят, что некоторое событие B благоприятствует событию A, если всякий раз как происходит событие B, происходит и событие A. Принимают следующее соглашение. Если из n всех возможных непересекающихся равновозможных событий, то есть таких, для которых вероятности полагаются равными, некоторому событию A благоприятствует m из таких равновозможных случаев, то принимают

Р(A)=m/n. (2.1)

В приведенном выше примере с колодой карт имеется n=52 равновозможных события: вынут одну какую-нибудь карту. Событию A–тому, что вынут короля, благоприятствуют m=4 события: B1–вынут короля пик, B2–короля треф,
B3–короля бубен, B4–короля червей. И только такие события Bi благоприятствуют событию A. При этом A есть объединение событий Bi:
A=U[pic]Bi и события Bi и Bj не пересекаются: Bi?Bj=[pic],i?j. Поэтому и принимают Р(А)=m/n=4/52=1/13.

Данное определение вероятности через благоприятствующие равновозможные непересекающиеся события называют часто классическим определением вероятности. Оно подтверждается на практике в виде закона больших чисел. Он проявляется следующим образом. Если сделать большое число n* испытаний, в каждом из которых может появиться событие A, то в результате оказывается, что число m* появлений события A оказывается как правило очень близким к величине Р(A), то есть выполняется с вероятностью очень близкой к единице – практически обязательно, с большой степенью точности приближенное равенство

m*/n* ? m/n=Р(A) (2.2)

Условной вероятностью события А по событию В называют величину Р(А|В), которая дает равенство Р(А?В)=Р(A|B)·P(B). Смысл этого определения таков.
Условная вероятность оценивает шансы осуществления события А, когда известно, что произошло событие В.

События А и В называются независимыми, если Р(A|B)=P(A). Тогда
Р(А?В)=Р(A)·P(B). Иначе говоря, события А и В независимы, когда вероятность осуществления события А не зависит от того, осуществилось или нет событие
В. И наоборот, вероятность осуществления события В не зависит от осуществления события А.

Например, пусть бросают две не связанные друг с другом игральные кости. Пусть событие А–на первой кости выпало 4 очка. Событие В–на второй кости выпало 2 очка. Тогда Р(А)=1/6,Р(В)=1/6. События А и В естественно полагать независимыми. Стало быть, полагаем Р(А|B)=P(A), P(B|A)=P(B) и
P(А?В)=P(A)·P(B)=1/6·1/6=1/36. То есть вероятность события С=А?В – на первой кости выпало 2 очка и при этом на второй кости выпало 4 очка равна
1/36.

Несколько событий A1,A2,…,Ak называются независимыми в совокупности, если Р(?Ai)=Р(A1)·Р(A2)·…·Р(Ak). Важно заметить, что из попарной независимости всех событий Аi и Aj, i=1,…,k, j=1,…,k, i[pic]j, вообще говоря, не следует независимость событий A1,A2,…,Ak в совокупности. В этом можно убедиться на конкретном примере.

Подчеркнем еще раз, что физической основой для теории вероятностей является следующее статистическое свойство устойчивости частот. Буквой А обозначим случайное событие, связанное с некоторым повторяющимся опытом.
Пусть опыт повторяется n* раз при одинаковых условиях. Пусть [pic]*–число появлений событий А. Относительная частота [pic] появления событий А определяется формулой

[pic] (2.3)

Если неограниченно увеличивать число повторений опыта [pic], то относительная частота [pic] будет устойчиво приближаться к некоторой фиксированной величине Р(А) и отклоняться от нее тем меньше и реже, чем больше n*. Эта величина и является вероятностью P события А. Если в теории вероятность Р(А) определена правильно, то оказывается, что теоретическое число Р(А) совпадает с описанным выше практическим пределом. Это обстоятельство и позволяет численно оценивать вероятность случайного события в теории.

3.Формула Бейеса.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: изложение на родине ломоносова, решебник по русскому языку.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата